על לימודי המתמטיקה בבית-ספר ולדורף

לאהוב מתמטיקה - מן היד, דרך הלב אל הראש

לימודי המתמטיקה בבית-ספר ולדורף נחלקים לשלושה שלבים. בראשון, הנפרש על פני חמש הכיתות הראשונות, מתמטיקה מפותחת כפעילות שקשורה אינטימית לתהליכי החיים של הילד ומתקדמת מהאלמנט הפנימי לעבר החיצוני. בשני, מכיתה ו' עד ח', הדגש העיקרי הוא על היסוד המעשי. מכיתה ט' ואילך מתרחש מעבר לנקודת-מבט רציונאלית.

כיצד לטפל במושגים המתמטיים הראשונים? בדיקה מדוקדקת מעלה כי הוראת מושגי חשבון וגיאומטריה קשורה למקום בו נפגשת התודעה עם פעילות אורגניזם התנועה בילד. ספירה היא תנועה פנימית, דרכה ניתן להתבונן בתנועה חיצונית. שוברט מכנה זאת "התוכן החושי של הוראת מתמטיקה". תוצאות מחקרי פיאז'ה על התפתחות האינטליגנציה בילדים מצביעות גם הן בכיוון זה, ילדים צעירים מבצעים עדיין תנועות כשברצונם לקשר דבר אחד לאחר. מכל מקום, תנועות אלה קשורות לאובייקטים פיזיים, מהם הילדים בקושי יכולים להשתחרר, אם בכלל.

הדגמות: מעגלי מניה

מהו הבסיס הפסיכולוגי שעליו נבנים המושגים המתמטיים הראשונים? אם התפתחות המושגים המתמטיים מתרחשת בשלב המוחשי, בו הילד הצעיר עדיין חי לגמרי בתנועה ובדימויים פנימיים, מטרתנו אינה אמורה להיות "הכללה והפשטה", אלא "הפיכה לקונקרטי והתבוננות במקרים אינדיבידואליים". מטרה זו מגדירה את האמצעים בהם אנו יכולים להשתמש על מנת שנימנע מלעמת את הילד עם מבנים לוגיים מופשטים שאינם מתאימים לגילו. כך גם נוכל לפתח את מלוא יכולתו להתנסות מלאת חיים ותנועה במתמטיקה. נוכל לדוגמא להתייחס לתחום רישום הצורות שבאמצעותו אנו מזינים ומתרגלים את התודעה הנחוצה לשימוש במתמטיקה. התנסות זו בצורה ואחר-כך בפעילות פנימית מדמה מהווה בסיס והכנה לכניסה בריאה ל'שלב הפעולות הפורמאליות' (פיאז'ה). הכלל 'מן היד, דרך הלב אל הראש' (אליו התכוונו באומרנו למעלה 'לפתח את מלוא יכולתו'), מאפשר לילדים להביא את יכולותיהם לידי ביטוי. "ברור כי השאלות הטובות והפוריות ביותר לגבי מושגים והסברים באות מתלמידים, שאינם מעלים אותן מתוך זריזות אינטלקטואלית, אלא מתוך יכולת למעורבות רגשית, שמאפשרת לצלילות להיכנס לחשיבה."

לגישה קונקרטית זו למתמטיקה בשלב בית-הספר היסודי עלינו להוסיף דבר, שאינו תלוי באלמנט התנועתי. זוהי האיכות, ניתן לומר הזהות, של המספרים האינדיבידואליים. כשם שהדגש המובא לעיל הוא על גישה כמותית למספרים, כתוצאה של הפוגה קצרה בתנועה או בהתבסס על התנועה עצמה, כך עלינו ליצור מבוא למושגים מספריים איכותיים לצד אלו הכמותיים. אנו מתקרבים לאיכויות אלו על-ידי בחינה של דוגמאות רבות בהן המספר הנידון באמת פעיל בעולם. כך לדוגמה מוצאים את המספר חמש בפרח הוורד. אנו מתכוונים כאן לתשוקה של הילד לשאול מה נמצא מעבר לעולם הנראה, הווה אומר, לחפש מה טמון מעבר לתופעות. מדען הגרעין ו. הייטלר (W. Heitler) התייחס לכך בהרצאה שנשא: "יש לכוון את תשומת-הלב לתופעות איכותיות, לאפיונים שבהם יש משהו הקשור בטוטאליות של האובייקט הנצפה". שטיינר ממליץ לקחת זאת כנקודת-מוצא למבוא בכדי ללמד את המושגים של המספר עצמו.

שימושים מעשיים של החישוב

במידה והחישוב תורגל ביסודיות מספקת במהלך השלב הראשון (כיתות ראשונות של בית ספר יסודי), כמתואר, הרי שהחישוב היישומי יקבל גם הוא צביון איכותי. כוחות האינטליגנציה בהם עושים שימוש במתמטיקה עסקית כמו גם באחוזים ובריבית אינם חסרי משמעות אלא יכולים לשמור על צביונם עבור בחינה ושיפוט מאוזנים. בהקשר זה ניתן להצביע על הצעתו של שטיינר, שיש ללמוד יסודות של הנהלת-חשבונות בשיעורי מתמטיקה. בכדי להבין את הרעיון הכללי מאחורי הנחייה זו, ראוי לשאול אלו כישורים עשויים להתפתח על-ידי הנהלת-חשבונות. כך יתגלה יותר מכל כיצד שיטת מסחר מוסרית יכולה להסתייע באורח מכריע באמצעים שכאלה. כל אותם נושאים יכולים להוביל אותנו למטרות חינוכיות נוספות: גמישות פנימית שמובילה לפיתוח הדמיון עבור פתרון בעיות מתמטיות.

הדגמה: הוראת קנה מידה, מספרים מכוונים

מטרה חינוכית אחרונה, שאין לגרוע מערכה ושקשורה בזו שלפניה, הנה: חישוב אינו אפשרי ללא תרגול קבוע. במיוחד בשלב השני (כיתות ו' עד ח') התרגול חשוב ביותר ומהותי להעמקה ולהתנסות מלאת משמעות בתחום. הוא גם הופך אמצעי נפלא להכשרת הרצון התחומים אחרים.

שימושיות

דוגמה - איקאה

שאלה: איזה אחוז משטח המלבן תופס המשולש?

"למי אכפת בכלל כמה שטח תופס המשולש? איפה משתמשים בזה בחיים האמיתיים? איכס צריך לחשב שטחים, ואחוזים! מאיפה לנו לדעת? צריך כלי מדידה! ועוד ועוד ועוד."

קוריקולום חשבון

הכיתה חשבון הערות
א - אגדה היכרות עם המספרים השלמים, ספירה ומנייה עד 100, היכרות עם ספרות רומיות, היכרות עם 4 פעולות החשבון התחלפות השיניים
ב - נוודות המשך עבודה עם 4 פעולות החשבון, היכרות עם לוח הכפל; חיבור מאונך; בעיות מילוליות פיתוח וטיפוח של הישות הכיתתית
ג – פרס הקדומה המשך עבודה עם 4 פעולות החשבון ולוח הכפל, זמנים, טמפרטורות, מידות, משקלות ובנייה, סחר ומטבעות; מספרים ראשוניים; חילוק ארוך המעבר בין משחק לעבודה מתרחש. גדילת הילד מואצת. תקופת החלימה מסתיימת
ד - מצרים היכרות עם שברים; בעיות מילוליות; ממוצע; התמרה: הילד הופך לעצמאי.
ה - יוון גיאומטריה; שברים, מספרים מעורבים ושבר עשרוני קצב פעימות הלב יורד ליחס של 1:4 לנשימה (כמו אצל המבוגר); המודעות העצמית הולכת ומתחזקת. הילד בהרמוניה עם עצמו וסביבתו
ו – רומא גיאומטריה; אחוז ויחס תחילתו של "גיל ההתבגרות"
ז - רנסאנס גיאומטריה; מספרים שליליים, חזקה ושורשים, גרף, נוסחה הילדים טעונים בחיוניות רגשית. דחיית סמכות.
ח - מהפכות גיאומטריה – מדידות של משטחים ונפח; מתמטיקה: יישומים מעשיים של אריתמטיקה, אלגברה, גיאומטריה, שרטוט גרף עיצומו של "גיל ההתבגרות". התעוררות כוחות אינטלקטואליים